Comparaison de deux placements

Noam et Mahault ont chacun reçu 300 € de la part de leur grand-mère à Noël.

1. Le 1 ^er janvier 2024, Noam place cette somme d'argent sur un livret d'épargne à intérêts composés au taux de 4 %. Cela signifie que chaque premier janvier, son capital augmente de 4 % par rapport à l'année précédente. Il prévoit également de verser, chaque 1 ^er janvier à partir de 2025, 100 € supplémentaires sur ce compte.

    a. Calculer la somme d'argent dont il disposera sur son livret au 1 ^er janvier 2025.

    b. Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_n$ la somme d'argent sur le livret d'épargne de Noam au 1 ^er janvier $2024+n$ .

• Préciser la valeur de  $u_0$ .
  
• Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=1,04u_n+100$ .
  
• La suite  $(u_n)$ est-elle une suite arithmétique ? Justifier.

2. Mahault préfère garder les 300 € dans une tirelire et prévoit d'y ajouter 10 € tous les mois.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $v_n$ la somme d'argent que possède Mahault dans sa tirelire au 1 ^er janvier $2024+n$ .

Justifier que la suite  $(v_n)$ est une suite arithmétique et préciser son premier terme et sa raison.

3. À l'aide du menu « suites » de la calculatrice, déterminer à partir de quelle année Noam aura plus d'argent sur son livret que Mahault dans sa tirelire.